考察: モンティ・ホール問題の理論的整理
何となく「モンティ・ホール問題」について考えてみる
1990年9月9日の話だし、既知の話ではあるのだが
直感的にちょっと気持ち悪さが残るので理論的に整理してみる
モンティホール問題
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがある
1つがあたりで、残りの２つははずれ
プレーヤーが1つのドアを選択した後
司会（モンティ）が残りのドアのうちはずれを１つ選ぶ
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
正解は？
変更した方が正解する確率が２倍になるので変更した方がよい
直感的に思うこと
３枚のドアからプレイヤーがあたりを選ぶの確率は1/3
残りのドアのどちらかに変更してもどのドアでも1/3なのではないか？
場合分けで考えてみる
Aのドアがあたり、BCがはずれだとする
変更する場合（1/3）
Aのドアを選ぶ、B or C に変更する -> はずれ
Bのドアを選ぶ、Aのドアが残る -> あたり
Cのドアを選ぶ、Aのドアが残る -> あたり
変更しない場合（2/3）
Aのドアを選ぶ、B or C に変更する -> あたり
Bのドアを選ぶ、Aのドアが残る -> はずれ
Cのドアを選ぶ、Aのドアが残る -> はずれ
変更しない場合ははじめにあたりのドアを選んでいるとあたりになる（1パターン）
変更する場合ははじめにはずれのドアを選んでいるとあたりになる（2パターン）
つまり、変更する方が変更しないよりも２倍正解する
何故確率が変わるのか
正解を知っている人がはずれを潰すので確率が収束する
もし、司会者があたりも含めて適当なドアをあけて見せるなら確率は変わらない
（ここであたりが出る分の確率も減るから）
直感的に分かりやすい例でドアが100枚だったらという考え方がある
1枚のドアを選んで、98枚のはずれドアを除外して
残った1枚に交換するかどうかというものだ
これもドアが3つのパターンと考え方の根本は同じ
はじめに選んだ１つとそれ以外の対比になるので
変更する方が正解率が高くなることが感覚的に分かりやすくなる
最後に
確率問題は直感的に思うことと結果が一致しないことが割と散見される感じがする
納得できていないものについてはしっかりと自分の考えを整理しておきたい
類似の以下のものも近いうちに確認しておきたい
